代数系统 二元运算及其性质 一元运算的定义 设 S 为集合，函数 f:S→S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算。
二元运算的定义 设 S 为集合，函数 f:S×S→S 称为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
S 中任意两个元素都可以进行运算，且运算结果唯一。二元运算的运算结果仍然属于 S，即运算封闭。一元运算和二元运算的表示方法 算符：⊕,⊙,⋯，x⊕y,Δx,⋯解析公式运算表二元运算的性质 单个二元运算的性质 交换律：若 ∀x,y∈S,x∘y=y∘x，则称 ∘ 满足交换律。结合律：若 ∀x,y,z∈S,(x∘y)∘z=x∘(y∘z)，则称 ∘ 满足结合律。幂等律：若 ∀x∈S,x∘x=x，则称 ∘ 满足幂等律。多个二元运算的性质 分配律：若 ∀x,y,z∈S,x∘(y∙z)=(x∘y)∙(x∘z)且(y∙z)∘x=(y∘x)∙(z∘x)，则称 ∘ 对 ∙ 满足分配律。吸收律：若 ∀x,y∈S,x∘(x∙y)=x，则称 ∘ 对 ∙ 满足吸收律。特异元素 单位元 左单位元：若 ∀x∈S,el∘x=x，则称 el 为 ∘ 的左单位元。右单位元：若 ∀x∈S,x∘er=x，则称 er 为 ∘ 的右单位元。单位元：若 e 既是左单位元又是右单位元，则称 e 为 ∘ 的单位元，也称为幺元。零元 左零元：若 ∀x∈S,θl∘x=θl，则称 θl 为 ∘ 的左零元。右零元：若 ∀x∈S,x∘θr=θr，则称 θr 为 ∘ 的右零元。零元：若 θ 既是左零元又是右零元，则称 θ 为 ∘ 的零元。逆元 若二元运算存在单位元 e：
左逆元：若 ∀x∈S,x∘x−1=e，则称 x−1 为 x 的左逆元。
右逆元：若 ∀x∈S,x−1∘x=e，则称 x−1 为 x 的右逆元。
逆元：若 x 既有左逆元又有右逆元，则称 x−1 为 x 的逆元。
可逆的：若 ∀x∈S,∃x−1∈S,x∘x−1=x−1∘x=e，则称 x 可逆。
唯一性定理：若 x 有左逆元 yl 和右逆元 yr，则 yl=yr，且 yl 为 x 的逆元。
运算表 运算表与运算性质 封闭性：运算表中的元素都在集合中。交换律：运算表关于主对角线对称。幂等性：运算表主对角线上的元素均与表头元素相同。结合律：判断比较复杂，一般通过运算表无法判断。 需要针对运算元素的每种选择进行验证，若 |A|=n，一般需要验证 n3 个等式.运算表与特异元素 有幺元：该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致；有零元：该元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同；设 A 中有幺元，a 和 b 互逆，当且仅当位于 a 所在行，b 所在列的元素以及 b 所在行，a 所在列的元素都是幺元。代数系统 非空集合 S 与 S 上的 k 一元或二元运算构成的系统称为代数系统，简称代数。记作：⟨S,f1,f2,⋯,fk⟩。
代数系统的成分 非空集合：S，也叫 载体。运算：S 上的一元或二元运算。代数常数：代数系统中的特异元素。实例： V1=⟨Z,+,0⟩, V2=P(S),∪,∩,∅,S
同类型的代数系统 若两个代数系统中运算的个数以及对应的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统是同类型的。
如 V1=⟨R,+,⋅,0,1⟩ 和 V2=⟨P(B),∪,cap,∅,B⟩ 是同类型的代数系统。
同类型的代数系统仅仅是具有相同的成分，不一定具有相同的运算性质！
子代数系统 设 V=⟨S,f1,f2,⋯,fk⟩ 是一个代数系统，若 S′⊆S，且 S′ 与 V 中的运算在 S′ 上封闭，则称 V′=⟨S′,f1,f2,⋯,fk⟩ 是 V 的子代数系统，简称子代数。
有时会将子代数系统简记为 S′。
特殊的子代数系统 最大的子代数：V 本身。最小的子代数：若 V 中所有的代数常数构成的代数系统对 V 中的运算封闭，则该代数系统是 V 的最小子代数。平凡的子代数：最大的子代数和最小的子代数。真子代数：不是 V 本身的子代数。即 S′⫋S。积代数 设 V1=⟨A,∘⟩ 和 V2=⟨B,∙⟩ 是同类型的代数系统，在 A×B 上定义二元运算 ⊙：
∀
代数系统的同态与同构 代数系统的同态 V1=⟨A,∘⟩ 和 V2=⟨B,∙⟩ 是同类型的代数系统，若存在映射 f:A→B，且满足：
∀x,y∈A,f(x∘y)=f(x)∙f(y)则称 f 是 V1 到 V2 的同态映射，简称同态。
同态的分类 单同态：若 f 是单射，则称 f 是单同态。满同态：若 f 是满射，则称 f 是满同态，此时称 V2 是 V1 的同态像。记作 V1∼V2。同构：若 f 是双射，则称 f 是同构映射，V1 和 V2 是同构的，记作 V1≅V2。自同态：若 V1=V2，则称 f 是 V1 的自同态。